Analytique du football : mathématiques et statistique, un cours en 24 séances

Contexte

Le football constitue l’un des rares domaines où un profane possède déjà de solides intuitions probabilistes. Chacun a un avis tranché sur une occasion manquée qui « devait » aller au fond, sur un attaquant en pleine réussite ou simplement chanceux, ou encore sur la légitimité d’un sacre en championnat. Ces intuitions représentent une opportunité didactique remarquable : chacune dissimule une question statistique féconde qui s'ignore.

Ce cours saisit pleinement cette opportunité. Il guide un apprenant motivé — maîtrisant les bases de l’algèbre du secondaire et les rudiments de Python (variables, listes, boucles, fonctions) — depuis le chargement d’un premier fichier de tirs jusqu’à la rédaction d'un rapport d'analyse complet destiné à un staff technique. Aucun prérequis en calcul différentiel ni en algèbre linéaire n’est exigé : ces notions sont introduites de manière visuelle et intuitive, au moment exact où la résolution du problème l'impose.

La problématique pédagogique

Les cours d’initiation à la statistique suivent le plus souvent le plan linéaire des manuels traditionnels : statistique descriptive, lois de probabilité formelles, régression linéaire, puis inférence statistique. L’étudiant y découvre des outils abstraits avant même de comprendre leur utilité concrète, reléguant les formules mathématiques au rang de règles purement décoratives.

Ce cours inverse délibérément la démarche. Chaque module part d'une énigme sportive concrète et ne mobilise que l'outillage mathématique strictement indispensable pour y répondre.

Démarche et organisation

24 séances réparties en sept modules. Chaque séance de 90 minutes s'articule en quatre séquences rythmées : une mise en situation de 10 minutes tirée d’un fait de match marquant ; 30 minutes d'acquisition conceptuelle, abordée d’abord par la visualisation géométrique puis formalisée par l’équation ; 40 minutes d’expérimentation pratique dans un carnet de laboratoire ou une interface interactive ; et un billet de sortie (exit ticket) de 10 minutes validant l'objectif d'apprentissage unique de la séance. Les modules de quatre séances adoptent une progression constante : Notion $\to$ Construction $\to$ Laboratoire $\to$ Application.

Module	Question directrice	Notions mathématiques et statistiques
0. Le terrain comme jeu de données	D’où viennent les données de match et comment sont-elles structurées ?	Coordonnées spatiales, distance euclidienne, moyenne, médiane, dispersion, taux de base
1. Construire les buts attendus (xG)	Pourquoi cette frappe vaut-elle précisément 0,08 but attendu ?	Angle de tir entre deux vecteurs, probabilité conditionnelle, fonction logistique, score de Brier, calibration
2. Le modèle de Poisson	Quelle est la probabilité exacte d’une victoire 2-1 ?	Distribution de Poisson, indépendance stochastique, produit extérieur (matrice de scores), simulation de Monte-Carlo
3. Réseaux de passes et profils de joueurs	Qui est la véritable plaque tournante de l'équipe, et qui joue comme N'Golo Kanté ?	Algèbre matricielle, centralité de vecteur propre (méthode de la puissance), standardisation ($z$-scores), ACP, partitionnement par $k$-moyennes
4. Comment un modèle apprend	Que se passe-t-il sous le capot lors de l’entraînement d’un modèle ?	Dérivées, descente de gradient, normalisation des variables, programmation linéaire
5. Talent ou réussite passagère ?	Cet attaquant est-il intrinsèquement clinique, ou traverse-t-il une série chanceuse ?	Variance d’échantillonnage, régression vers la moyenne, rétrécissement statistique (shrinkage), biais des comparaisons multiples
6. Maîtrise de l’espace et projet final	Quelle équipe contrôle réellement les zones clés du terrain ?	Diagrammes de Voronoï, modélisation du contrôle spatial comme champ de probabilités continues

Principes de conception. La question métier d’abord, le formalisme mathématique ensuite. L’intuition visuelle avant le symbole. Chaque modèle est estimé sur des données ouvertes réelles : aucune formule n'est gratuite. Le principe directeur consiste à bâtir d'abord un modèle naïf, puis à révéler méthodiquement ses défaillances. Aucune démonstration théorique superflue n'est imposée, sauf lorsqu'une dérivation algébrique éclaire directement la décision.

Environnement technique et jeux de données. L'ensemble du cursus repose sur des technologies libres : Python sous Jupyter ou Google Colab, adossé à pandas, NumPy, Matplotlib, scikit-learn et SciPy, avec les bibliothèques spécialisées statsbombpy (extraction des données d'événements) et mplsoccer (visualisation sur terrain). Les données mobilisées proviennent du dépôt ouvert de StatsBomb (Coupe du monde FIFA 2018 ; saison 2015-2016 de Premier League illustrant le sacre de Leicester, qui sert de fil conducteur ; instantanés 360 de la Coupe du monde 2022) ainsi que de l’échantillon de données de suivi (tracking) de Metrica Sports.

Format et modalités d'évaluation. Le cursus est décliné soit en format intensif (six semaines à raison de quatre séances hebdomadaires), soit en format semestriel (douze semaines, deux séances par semaine). La pondération proposée s'établit ainsi : laboratoires pratiques 40 %, billets de sortie 10 %, mini-projets intermédiaires 20 % et projet final 30 %. Ce dernier associe un carnet de code exécutable et une note de synthèse d'une page destinée à un entraîneur. L'évaluation valorise autant la clarté d'interprétation que la rigueur algorithmique : un modèle techniquement parfait mais mal vulgarisé obtient une note inférieure à un modèle plus modeste dont les limites sont lucidement exposées.

Démonstrations et livrables

L’explorateur interactif des buts attendus

Les séances 3 à 5 s’articulent autour d’un simulateur interactif. En sélectionnant un point d'impact sur le terrain, la distance par rapport à la ligne de but et l'angle d'ouverture sous lequel le tireur perçoit les montants sont instantanément transformés en probabilité de marquer via la fonction logistique :

$$z = b_0 + b_1\,\text{angle} + b_2\,\text{distance}, \qquad xG = \frac{1}{1 + e^{-z}}$$

L’explorateur intègre deux jeux de coefficients :

• Le jeu didactique ($b_0 = -0{,}6$, $b_1 = 2{,}2$, $b_2 = -0{,}1$) constitue le point de départ de la séance 3 : il illustre la topologie cohérente des xG (la probabilité augmente à mesure que la frappe se rapproche du but, s'axe et ouvre son angle), mais n'est délibérément pas calibré sur des données réelles.
• Le jeu estimé est celui calculé lors du laboratoire 1 à partir des 1 556 tirs en jeu ouvert de la Coupe du monde 2018 ($b_0 = -2{,}027$, $b_1 = 1{,}266$, $b_2 = -0{,}069$).

La comparaison dynamique entre ces deux paramétrages, observée sur le graphique de calibration par tranche de distance, met en lumière un enseignement méthodologique fondamental : sur l'échantillon 2018, le modèle didactique prédit environ trois fois plus de buts que la réalité observée, tandis que le modèle calibré reproduit fidèlement les taux de conversion empiriques.

L’anomalie du point de penalty

L’explorateur met également en évidence les frontières de la modélisation purement géométrique. Lors de la Coupe du monde 2018, 22 des 29 penalties tirés en cours de match ont été transformés (76 %). Or, le modèle logistique estimé n’attribue qu'une valeur d'environ 0,12 xG à une frappe située sur le point de penalty : s'il évalue correctement la distance (12 yards) et l'angle, il ignore la spécificité réglementaire de l'exercice, à savoir un tir direct sans rideau défensif. Cette anomalie sert de paradigme pour l'ensemble du cours : bâtir un modèle intuitif, l'estimer loyalement, puis circonscrire avec rigueur ses zones d'échec.

Les résultats du laboratoire 1

Le carnet reproductible joint reconstitue les statistiques de référence du laboratoire 1 :

• L’énigme des buts du laboratoire 0 : la table brute recense 183 buts, alors que le bilan officiel du tournoi n'en totalise que 169. L'écart s'explique par les 26 tirs réussis lors des séances de tirs au but (comptabilisés comme des tirs ordinaires dans les événements bruts) et les 12 buts contre son camp (qui ne constituent pas des tirs d'attaquants). Le rapprochement comptable (157 buts en jeu issus de tirs + 12 buts contre son camp = 169) illustre concrètement l'importance du nettoyage des données.
• Taux de base et métriques de tir : un taux de conversion moyen de 9,4 % pour les tirs en cours de match, une distance médiane de tir de 18,4 yards (~16,8 m) et une distance médiane pour les tirs menant à un but de 11,0 yards (~10,0 m).
• Précision probabiliste : un score de Brier de 0,069 pour notre régression logistique élémentaire sur tirs ouverts, contre 0,064 pour le modèle propriétaire multi-variables de StatsBomb.
• Calibration globale vs discrimination : une somme totale des xG prédits de 129,0 pour exactement 129 buts marqués en jeu ouvert. Ce résultat parfait permet d'interroger les étudiants lors du billet de sortie : retrouver le volume exact de buts valide-t-il la qualité discriminante d'un modèle ? (La réponse étant négative, la calibration globale ne garantissant pas la précision locale).

État d’avancement du cursus

Le plan de formation prévoit 15 supports didactiques majeurs. Trois d'entre eux sont entièrement finalisés et testés sur données réelles : l’explorateur interactif des xG, le laboratoire 1 (estimation de son propre modèle de buts attendus) et le module 0 complet (carnet d'introduction, laboratoire 0 et cartographie d'événements de la finale France–Croatie 2018). Les douze autres modules (de la grille de Poisson au champ de contrôle spatial de Voronoï) sont intégralement scénarisés et en cours de développement.

Limites et cadre d'interprétation

• Biais d'apprentissage sur échantillon unique : Les métriques du laboratoire 1 sont calculées directement sur l'échantillon d'entraînement. La séance 6 du cours introduit formellement la séparation train/test en réservant la phase à élimination directe comme jeu de validation ; cette étape n'est pas détaillée sur cette page de synthèse.
• Taille d'échantillon restreinte : Un volume de 1 556 tirs et 129 buts permet d'assimiler les méthodes, mais demeure insuffisant pour calibrer un modèle xG robuste en conditions réelles.
• Limites de la géométrie pure : Le modèle d'exemple fait abstraction du placement du gardien, de la pression des défenseurs, de la partie du corps utilisée et de la trajectoire de la passe décisive.
• Portée du carnet joint : Le document fourni est une synthèse d'exécution autonome conçue pour attester de la reproductibilité des résultats, et non le cahier d'exercices complet remis aux étudiants.
• Absence de métriques d'apprentissage longitudinales : Il s'agit d'un projet d'ingénierie pédagogique et de supports d'enseignement, et non d'une étude d'impact empirique sur les performances d'étudiants en conditions réelles d'examen.

Perspectives de déploiement et applications professionnelles

Cette architecture pédagogique — partir d'un questionnement métier pour faire émerger l'outil mathématique sur des données réelles — est directement transposable à d'autres domaines de la statistique appliquée où les apprenants abordent la matière avec de fortes intuitions mais des bases formelles fragiles.

Pour des analystes du secteur public ou des politiques économiques, les problématiques s'adapteraient naturellement (pourquoi un indicateur territorial s'écarte-t-il de la moyenne ? un écart régional reflète-t-il une disparité réelle ou une fluctuation d'échantillonnage ?), tout en conservant le même arsenal mathématique : processus de Poisson pour les données de comptage d'incidents, régularisation et rétrécissement (shrinkage) pour les petits effectifs géographiques, et régression vers la moyenne pour débiaiser les classements de performance. La gouvernance du cours repose sur des outils d'évaluation continue : des billets de sortie formateurs pour identifier immédiatement les décrochages conceptuels, des laboratoires notés sur la reproductibilité du code et la clarté d'explication, et un rapport d'analyse final jugé par un décideur non-spécialiste sur sa pertinence opérationnelle.

Données d'événements fournies gracieusement par StatsBomb via leur référentiel de données ouvertes.